Арифмантика
Совершенные числа

Совершенным называется то, что по достоинствам и ценности не может быть превзойдено в своей области
Аристотель

Здравствуйте, мои дорогие.

   Рада видеть Вас на уроке арифмантики. Тема сегодняшнего урока - совершенные числа.

      - А на той планете есть охотники?
      - Нет.
      - Как интересно! А куры есть?
      - Нет.
      - Нет в мире совершенства! - вздыхает Лис.
А. де Сент-Экзюпери, "Маленький принц"
   С Лисом можно поспорить, но пифагорейцы, жившие две с половиной тысячи лет тому назад, тоже считали совершенство редким явлением и обозначали его числами, удовлетворяющими довольно жествому условию.
   Возьмем, например, число шесть. Его делителями будут 1, 2, 3 и само число 6. Если сложить делители, отличные от самого числа, то получим
1 + 2 + 3 = 6
   Есть ли еще такие числа? Конечно. Например число 28:
28 = 1 + 2 + 4 + 7 + 14
   Числа, которые равны сумме всех своих делителей (исключая само число), древнегреческие математики называли совершенными.
   Первое, самое меньшее совершенное число - 6. Может быть, именно поэтому шестое место считалось самым почетным на пирах у древних римлян.
   Второе по старшинству совершенное число - 28. В некоторых ученых обществах и академиях полагалось иметь 28 членов. Почти до наших дней дожила эта традиция, идущая из далеких эпох. В Риме в 1917 году при выполнении подземных работ обнаружилось помещение одной из древнейших академий: зал и вокруг него 28 кабинетов - как раз по числу членов академии.
   Лев Николаевич Толстой шутливо "хвастался" тем, что дата его рождения (28 августа по календарю того времени) является совершенным числом. Год рождения Л.Н.Толстого (1828) - тоже интересное число: последние две цифры (28) образуют совершенное число; а если переставить местами первые две цифры, то получится 8128 - четвертое совершенное число.
   Третье совершенное число - 496.
496=1+2+4+8+16+31+62+124+248
   Первые четыре совершенных числа: 6, 28, 496, 8128 - были обнаружены 2000 лет назад.
   Пятое совершенное число было найдено лишь 500 лет назад.
   Совершенные числа таят в себе множество загадок. Во-первых, все известные совершенные числа четные, и неизвестно, существуют ли нечетные совершенные числа и возможно ли это. Во-вторых, хотя найдено уже несколько десятков совершенных чисел, но неизвестно, конечно их число или бесконечно.
   Про четные совершенные числа было известно еще Евклиду. Он доказал, что если при некотором значении числа р число 2p-1 - простое, то число 2p-1(2p-1) будет совершенным. Леонард Эйлер доказал, что такой вид имеют все четные совершенные числа.
   Поиском простых чисел вида 2p-1 занимался французский монах Марен Мерсенн. В его честь простые числа Мp=2p-1 стали называть числами Мерсенна. Он установил, что для простоты Мp, число р должно быть простым. Обратное утверждение неверно: существуют простые р, для которых M, не является простым числом. Например, М11=211-1=2047=23·89. Причем, множитель 23 имеет вид 23=2·11+1, а множитель 89=8·11+1. Вообще, все простые делители числа Мерсенна Мp=2p-1 имеют вид k=2rp+1, где r - натуральное число. Это облегчает поиск таких делителей.
   Простыми являются числа Мерсенна М2=3 и М7=127. Им соответствуют совершенные числа 6 и 8128.
   Найдено более 40 простых чисел Мерсенна, наибольшее из которых имеет в своей записи более 9 млн. цифр. Поиск простых чисел Мерсенна, а значит и четных совершенных чисел продолжается. А ведь когда-то Мерсенн сказал, что не хватит и вечности, чтобы узнать, является ли простым 20-значное число.
   Числа Мерсенна долгое время были абсолютно бесполезными, как, впрочем, и совершенные числа. Но в настоящее время на простых числах Мерсенна основана защита электронной информации, а также они используются в криптографии и других приложениях математики.

А теперь запишите домашнее задание.

1. Найдите еще примеры того, что совершенные числа очень почитались древними. (2 балла)

2. Посмотрите внимательно на фрагмент картины Рафаэля "Сикстинская Мадонна". Какое отношение он имеет к совершенным числам. (1 балл)

3. Вычислите числа Мерсенна для первых 15 простых чисел. Какие из них являются простыми и какие совершенные числа им соответствуют. (3 балла)

4. Используя определение совершенного числа, представьте единицу в виде суммы различных единичных дробей, знаменателями которых являются все делители данного числа. (2 балла)

5. Расставьте 24 человека в 6 рядов так, чтобы каждый ряд состоял из 5 человек.(1 балл)

6. Пользуясь пятью двойками и арифметическими заклинаниями, запишите число 28. (1 балл)


© 2006 Design by Lance Lie